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By Herbert Möller

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R, jeweils die Vertauschung des k -ten und des ik -ten Elements der j -ten Spalte f¨ ur j = 1, . . , k − 1 in der zugeh¨origen Matrix bedeuten. Unter Beachtung der Reihenfolge des Herausziehens erhalten wir also A = F −1 S = Pi1 1 · · · Pir r ) U S mit U = Pir r · · · Pi2 2 u1 Pir r · · · Pi3 3 u2 . . Pir r ur−1 ur . . um . Wegen k ≤ ik f¨ ur k = 1, . . , r ist U wieder eine normierte untere Dreiecksmatrix. ¨ Der Ubergang von U zu U l¨asst sich damit folgendermaßen beschreiben: Sind Pi1 1 , .

Ik mit δik : = . 0 . 0 ... 27) AEn = A f¨ ur jede m×n - Matrix A, En B = B f¨ ur jede n×p - Matrix B. En wird deshalb Einheitsmatrix genannt. Wenn keine Verwechslung m¨oglich ist, schreiben wir E statt En . Wegen Eik (λ)Em = Eik (λ) und Pik Em = Pik brauchen wir nur die geforderte Wirkung der obigen Matrizen bei der speziellen Matrix Em festzustellen. , III:  i 1     Eik (λ) =     .. k  0   . 1 .. λ i   , wenn i < k ist, k   . 1 0 ... :      Eik (λ) =     k 1 ..

25) (AB)C = A(BC). 21) Ist C : = c1 . . cq , so folgt (AB) c1 . . cq ) = ((AB) c1 . . (AB) cq ) = A(Bc1 ) . . 22) = A(Bc1 . . Bcq ) = A(BC). Damit k¨onnen wir auch bei dem letzten der Produkte in unserem obigen Beispiel die Klammern umsetzen beziehungsweise weglassen:      1 0 0 −1 −1 2 −1 −1 2 (G(F (EA))) = (GF E)A =  −2 1 0   −2 0 5  =  0 2 1  . c Es sei A = aik die n×n - Matrix mit aik : = 1 f¨ ur k ≥ i, 0 sonst. Berechnen Sie A3 . Achtung: Fundgrube! 5 Nichtkommutativit¨ at der Matrizenmultiplikation Ein wichtiges Gesetz der Multiplikation von Zahlen wird von dem Matrizenprodukt nicht erf¨ ullt, n¨amlich das Kommutativgesetz .

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Algorithmische Lineare Algebra by Herbert Möller


by James
4.3

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